Capítulo 5. Altura tonal, intervalos y volumen sonoro

Resumen: Tomando como paradigma el sonido simple, este capítulo explica que la percepción de la altura tonal y del volumen sonoro se comportan según la Ley de Weber-Fechner, de modo que mantiene respectivamente una relación logarítmica con la variación de la frecuencia y la amplitud. En el caso de la altura tonal, se presentan las razones numéricas entre las frecuencias que definen los principales intervalos: la octava, la razón 2/1; la quinta, la razón 3/2; y la cuarta, la razón 4/3. Así mismo, se describen las subdivisiones de la octava que se usan como unidades interválicas —el semitono y el cent— y se muestra cómo se calculan las frecuencias de las notas musicales a partir de sus intervalos, incluyéndose una tabla con las frecuencias de las notas en la afinación temperada estándar. En el caso del volumen sonoro, se explica la relación que mantiene con la amplitud y la intensidad sonora, y se muestra el belio —la razón 10/1— y el decibelio como unidades convencionales que sirven para comparar intensidades. Se presenta, además, una tabla de correspondencias entre amplitudes normalizadas y decibelios de intensidad, y otra con una escala de intensidades absolutas expresadas también en decibelios. Así mismo, se incluye una gráfica con la percepción del volumen sonoro en función de la frecuencia.

Introducción

Al margen del carácter convencional y arbitrario de los diversos lenguajes musicales, carácter que es inherente a cualquier creación del espíritu humano, todos los sistemas musicales se construyen sobre unos condicionantes previos que se derivan tanto de la naturaleza física del sonido en sí mismo, como de la manera en la que nosotros percibimos los fenómenos sonoros. Por ello, para entender la Teoría Musical es necesario estudiar las relaciones que se producen entre los parámetros físicos de la vibración sonora y las sensaciones auditivas que nosotros experimentamos.
Dado que el sonido simple es sencillo y estable, y además puede ser considerado como el paradigma de todo sonido musical, resulta muy adecuado para examinar cómo afecta a nuestra sensación la variación de sus parámetros físicos.
A lo largo de este capítulo analizaremos la manera en la que percibimos la frecuencia y la amplitud en el caso de un sonido simple. Veremos que la frecuencia determina la altura tonal que apreciamos y, por lo tanto, la nota musical que reconocemos, y que la amplitud guarda relación con el volumen sonoro que percibimos.
Sin embargo, no nos vamos a ocupar de la fase inicial, pues, aunque es un parámetro importante para la localización espacial de la fuente sonora y puede provocar diferentes efectos en la reunión simultánea de varios sonidos, no tiene un correlato directo en nuestras sensaciones. En efecto, si escuchamos un sonido simple de frecuencia y amplitud determinadas cuya fase inicial es de 0º, y luego escuchamos otro sonido de la misma amplitud y frecuencia, pero cuya fase inicial sea, pongamos por caso, 180º, no apreciaremos ninguna diferencia.

Relación entre estímulo y sensación: la Ley de Weber-Fechner

Puesto que nuestra sensación auditiva se comporta de manera similar al resto de nuestros sentidos, comenzaremos estudiando las relaciones matemáticas que se establecen entre los estímulos físicos y nuestras sensaciones. Me refiero al carácter logarítmico de nuestro sistema sensorial, tal como ha quedado definido mediante la llamada Ley de Weber-Fechner.
En la segunda mitad del siglo XIX Gustav Fechner, basándose en los trabajos previos de Ernst Weber, expresó una ley que relacionaba los estímulos físicos con las sensaciones que experimentamos al recibirlos. Al margen de matizaciones y excepciones, la Ley de Weber-Fechner establece que el estímulo debe crecer en progresión geométrica para que la intensidad de la sensación crezca en progresión aritmética. Esto significa que la relación entre la variación de los parámetros físicos que actúan de estímulo y la de nuestras sensaciones no es lineal, sino logarítmica.
Veamos con un ejemplo qué significa que nuestra sensación responda logarítmicamente al incremento o disminución de los estímulos. Imaginemos que recibimos cuatro estímulos sucesivos, a los que llamamos a, b, c y d. El parámetro físico asociado al estímulo a tiene una intensidad de 100; el de b, de 200; el de c, de 400; y el de d, de 800. Podemos comprobar que cada uno de ellos es el doble del anterior, es decir, que crecen manteniendo una progresión geométrica cuya razón es 2 y cuyo primer término es 100:
$$100;100\times 2=200;100\times 2\times 2=400;100\times 2\times 2\times 2=800; ...$$
Cuando pasamos del estímulo a al b, entre los cuales hay una distancia aritmética de 100, nuestra sensación aprecia una diferencia. Tomemos para nuestro ejemplo esa diferencia sensorial como unidad y consideremos a partir de ahora que nuestra sensación se ha incrementado en un grado al pasar del estímulo a al estímulo b.
Examinemos ahora lo que sucederá al pasar del estímulo b al c. La diferencia aritmética entre los parámetros físicos del estímulo b y del estímulo c es de 200 (400-200), es decir, el doble de la diferencia aritmética que hay entre los estímulos a y b. Si nuestra sensación respondiera de forma lineal al incremento del parámetro físico, cuando pasáramos del estímulo b al c tendríamos que percibir un incremento de dos grados. Sin embargo, esto no sucede así, sino que experimentamos un incremento de un grado, el mismo que hemos percibido al pasar del estímulo a al b. Y este mismo incremento de un grado es también el que percibiremos cuando pasemos del estímulo c al d, aunque la diferencia aritmética entre sus parámetros sea de 400 (800-400).
La explicación reside en que nuestra sensación reconoce como incremento de un grado el cociente entre las intensidades de los estímulos, no su diferencia aritmética. Por eso, aunque en nuestro ejemplo hayamos tomado como unidad sensitiva el paso del estímulo a al b, lo significativo no ha sido la diferencia aritmética que hay entre ambos estímulos (es decir, 100), sino la razón b/a que se establece entre ellos, que es la misma que c/b y que d/c. En este caso, se trata de la razón doble, la representada por el número 2:
$$\frac{200}{100}=\frac{400}{200}=\frac{800}{400}=\frac{2}{1}$$
Esto quiere decir que cada vez que el parámetro físico se multiplique por 2, nuestra sensación se incrementará un grado.
Imaginemos ahora que tenemos un nuevo estímulo al que llamaremos e, cuya intensidad es de 3200, y queremos saber cuántos grados sensoriales de incremento percibirá nuestra sensación al pasar del estímulo a a ese estímulo e.
La razón entre el estímulo e y el estímulo a es 3200/100, es decir, la representada por el número 32. Puesto que en nuestro ejemplo hemos tomado como unidad de grado sensorial la razón 2/1, representada por el número 2, la pregunta que nos tenemos que hacer ahora es: ¿cuántas veces tenemos que multiplicar el número 2 por sí mismo para obtener el número 32? O, dicho de otra manera, ¿a qué exponente hay que elevar el número 2 para obtener el número 32?
La respuesta es el logaritmo en base 2 del número 32, el cual es 5. En efecto, 25 = 32. Esto significa que si la intensidad del parámetro físico pasa de 100 a 3200, nosotros sentiremos un incremento de 5 grados. Así pues, el paso del estímulo a al estímulo e provocará una sensación 5 veces más intensa que la que hemos experimentado al pasar del estímulo a al estímulo b.
Generalizando, para saber cuántos grados sensoriales experimentamos cuando el estímulo cambia de intensidad, basta obtener el logaritmo del cociente entre el estímulo final y el inicial, logaritmo que ha de tener como base la razón numérica que hemos elegido como unidad sensorial.
En efecto, el logaritmo, como su nombre indica, es el número que mide la razón (la palabra logaritmo procede del griego lógos, razón, y arithmós, número) y, por ello, el logaritmo realiza la conversión de los valores de los parámetros físicos a las unidades en las que se miden nuestras sensaciones. Por eso se dice que nuestra percepción es logarítmica.
Con todas las matizaciones, excepciones y limitaciones que sería necesario hacer en cada caso, la Ley de Weber-Fechner tiene especial interés para conocer cómo oímos la música, pues, como veremos enseguida, nuestra audición percibe las diferencias de frecuencia y de amplitud de modo logarítmico.

Frecuencia y altura tonal: notas e intervalos

La altura tonal que percibimos al oír un sonido periódico y con ella la nota musical que reconocemos está determinada por el parámetro físico de frecuencia (o por su inversa, el periodo). Conforme mayor es la frecuencia de un sonido, más aguda es la altura tonal que apreciamos, y viceversa.
A continuación vamos a analizar el modo en el que las notas y los intervalos musicales están vinculados con la frecuencia de los sonidos. Comenzaremos comprobando que, dado el carácter logarítmico de nuestro sistema perceptivo, los intervalos se definen por las razones numéricas que se establecen entre las frecuencias. Luego examinaremos las unidades musicales que habitualmente utilizamos para comparar intervalos entre sí: el intervalo de octava y sus divisiones. Y finalmente estudiaremos cómo se establece mediante los intervalos una correspondencia directa entre las frecuencias de los sonidos y las notas musicales.

El intervalo musical como razón numérica

Aunque la altura tonal de una nota tiene un valor musical por sí misma, lo cierto es que los elementos que definen las escalas y los acordes musicales no son las alturas absolutas de los sonidos, sino los intervalos que se producen entre ellas.
Igual que ocurre con la mayor parte de nuestro sistema sensitivo, en lo que concierne a la percepción del intervalo musical también está presente la Ley de Weber-Fechner: la manera en la que percibimos las variaciones de la frecuencia no responde a una escala lineal, sino a una escala logarítmica. Esto explica que el intervalo musical no sea la diferencia aritmética entre sus frecuencias, sino su razón numérica, el cociente que se establece entre ellas.
He fabricado un vídeo que nos va a permitir comprobar cómo percibimos las variaciones de la frecuencia y por qué las magnitudes de los intervalos musicales son razones numéricas. El vídeo está formado por una sucesión de sonidos simples agrupados de dos en dos para que se pueda distinguir con facilidad el intervalo que hay entre ellos. Consta de dos partes separadas por una pausa larga. En la primera parte se oyen en primer lugar dos sonidos seguidos, cuyas frecuencias son 220 Hz y 440 Hz, y tras una breve pausa, se oyen otros dos sonidos seguidos de 440 Hz y 660 Hz. En la segunda parte del vídeo se oye primero otra vez la pareja de sonidos de 220 Hz y 440 Hz, y luego otra nueva pareja que tiene como frecuencias 440 Hz y 880 Hz. A medida que se van sucediendo los sonidos, se muestra en un recuadro la frecuencia y la nota musical correspondiente.

Figura 1. Vídeo con una sucesión de sonidos simples agrupados por parejas que forman distintos intervalos.

Podemos apreciar con claridad que percibimos mayor altura tonal en aquellos sonidos que presentan las oscilaciones más apretadas, es decir, los que tienen un periodo menor y, por lo tanto, una mayor frecuencia. Pero, sobre todo, lo que nos interesa experimentar mediante este vídeo es que el intervalo que percibimos entre dos notas musicales no está definido por la diferencia aritmética entre sus frecuencias, sino por el cociente entre ellas.
En la primera parte del vídeo vemos que entre el primer sonido, el de 220 Hz, y el segundo, el de 440 Hz, hay una diferencia aritmética de 220 Hz. Apreciamos al oírlos un salto de altura tonal que es un intervalo de octava, en concreto, el que existe entre el la3 y el la4. Ahora bien, cuando escuchamos el salto entre los sonidos de la segunda pareja —entre el tercero, de 440 Hz, y el cuarto, de 660 Hz— no percibimos un intervalo de octava, a pesar de que su diferencia aritmética es también de 220 Hz. Nuestra sensación nos dice que el salto ha sido bastante más pequeño que el que se producía entre el sonido de 220 Hz y el de 440 Hz. En efecto, ahora no reconocemos el la5, sino el mi5, que está a una distancia interválica de quinta respecto al la4.
Sin embargo, al oír los cuatro sonidos de la segunda parte del vídeo apreciamos la misma diferencia interválica entre la altura tonal de las dos parejas: entre el primer sonido, cuya frecuencia es de 220 Hz, y el segundo, de 440 Hz, oímos un intervalo de octava, que es el mismo que oímos entre el tercer sonido, de 440 Hz, y el cuarto, de 880 Hz. Pero la diferencia aritmética entre las frecuencias es distinta: mientras que entre los dos primeros sonidos es de 220 Hz, entre los dos segundos es de 440 Hz.
Comprobamos que lo que ocurre es que la razón entre las frecuencias que definen los dos intervalos de esta segunda parte del vídeo es la misma: el segundo sonido respecto al primero mantiene la misma razón numérica que el cuarto respecto al tercero, exactamente la razón doble, 2/1, la cual es la propia del intervalo de octava:
$$\frac{440}{220}=\frac{880}{440}=\frac{2}{1}$$
Hemos podido experimentar que reconocemos el mismo intervalo, la misma distancia perceptiva, cuando entre los sonidos se mantiene la misma razón numérica. Esto se debe a que lo que define el intervalo musical no es la diferencia aritmética entre sus frecuencias, sino la razón que hay entre ellas, su cociente.
En el vídeo, además de los dos intervalos de octava, oímos un intervalo de quinta, el que hay entre la segunda pareja de sonidos, la4 (440 Hz) y mi5 (660 Hz). Si atendemos a la relación que se establece entre sus frecuencias vemos que están en razón 3/2, que es la razón que define el intervalo de quinta natural:
$$\frac{660}{440}=\frac{3}{2}$$
Así mismo, aunque no las oigamos seguidas, podemos ver que el intervalo que hay entre la última nota de la primera parte, mi5 (660 Hz), y la última nota de la segunda parte, la5 (880 Hz), es de una cuarta. Si nos fijamos en sus frecuencias veremos que mantienen la razón 4/3, que es la que define el intervalo de cuarta natural:
$$\frac{880}{660}=\frac{4}{3}$$
Los intervalos que podemos considerar estructurales en nuestro sistema musical tienen una razón simple entre sus frecuencias: dos sonidos están a un intervalo de octava cuando sus frecuencias mantienen la razón doble, 2/1; están a un intervalo de quinta cuando mantienen la razón 3/2, la llamada razón sesquiáltera; y están a un intervalo de cuarta cuando mantienen la razón 4/3, la llamada razón sesquitercia. Ahora bien, en nuestra música habitualmente no oímos los intervalos naturales de cuarta y quinta, sino los intervalos temperados, los cuales están ligerísimamente desviados.
Finalmente, del hecho de que el intervalo sea una razón numérica se deduce que el intervalo que se obtiene de la composición de otros intervalos es el resultado de multiplicar sus respectivas razones. Por ejemplo, de la composición del intervalo de quinta y el de cuarta surge el intervalo de octava, como podemos apreciar si unimos el intervalo que hay entre las notas la4 y mi5 (3/2) con el que hay entre mi5 y la5 (4/3):
$$\frac{3}{2}\times\frac{4}{3}=\frac{2}{1}$$
De manera inversa, la diferencia entre dos intervalos es la división de sus razones. Así entre el intervalo de octava —por ejemplo, el que hay entre la4 y la5 (2/1)— y el intervalo de quinta —por ejemplo, entre la4 y mi5 (3/2)— existe una diferencia interválica de una cuarta (4/3) —la que hay entre mi5 y la5—, lo cual se obtiene dividiendo entre sí ambas razones:
$$\frac{2}{1}\div\frac{3}{2}=\frac{4}{3}$$

Unidades interválicas

Como acabamos de ver, los intervalos se definen mediante las razones entre sus frecuencias, pero, en tanto que el intervalo es un elemento de nuestra percepción musical, necesitamos una unidad perceptiva que nos permita comparar unos intervalos con otros. En la música disponemos de una unidad natural. Esta unidad natural es el intervalo de octava, la razón 2/1 entre las frecuencias de los sonidos.
Sonidos que distan un intervalo de octava poseen una especial afinidad reconocida en la práctica totalidad de los sistemas musicales de las diferentes culturas. Hay que tener presente que cuando dos sonidos que forman una octava son emitidos simultáneamente, el más ligero alejamiento de la relación doble es percibido inmediatamente como desafinación. Así pues, la octava es una unidad interválica de carácter universal y en referencia a ella establecemos las restantes unidades que utilizamos para medir los intervalos.
Veamos cómo podemos expresar cualquier intervalo en número de octavas. Imaginemos dos sonidos cuyas frecuencias sean a y b. El intervalo será la razón b/a. Si aplicamos lo que hemos estudiado con carácter general en el apartado sobre la Ley de Weber-Fechner para medir las distancias perceptivas, concluiremos que el número de octavas que mide este intervalo será el logaritmo en base 2 del número b/a (recordemos que 2 es la razón de la octava). Así pues, para expresar la medida de un intervalo en octavas bastará tomar el logaritmo en base 2 del número que define la razón entre las frecuencias de los sonidos que lo delimitan, sin que el resultado tenga que ser necesariamente un número entero.
Por ejemplo, el intervalo que hay entre el último sonido del vídeo, el la5 de 880 Hz, y el primero, el la3 de 220 Hz, está definido por la razón 880/220, es decir, 4/1. Por lo tanto, el número de octavas de este intervalo será el logaritmo en base 2 del número 4, que es 2. Efectivamente, entre el la5 y el la3 hay dos octavas.
Pero en la mayor parte de las ocasiones la octava es un intervalo demasiado grande para medir las diferencias entre las alturas tonales de los sonidos. Por eso se recurre a divisiones de la octava. Una unidad interválica habitual es el semitono temperado, que se define como la doceava parte de la octava. Por eso la razón que representa el semitono temperado es el número que multiplicado 12 veces por sí mismo da como resultado el número 2, la razón de la octava. Este número es $\sqrt[12]{2}$, que expresado con 15 decimales es: 1,059463094359295.
Cuando se trata de medir las sutilezas de la afinación el semitono sigue siendo una unidad muy grande, por lo que es común también utilizar como unidad interválica la centésima parte del semitono temperado, la cual recibe el nombre de cent. Como el cent es la 1/1200 parte de la octava, la razón que define el intervalo de cent es aquella que multiplicada por sí misma 1200 veces da el número 2. Esta razón es $\sqrt[1200]{2}$, que con 15 decimales es: 1,000577789506555.
De las propiedades de los logaritmos se deduce que para expresar un intervalo cualquiera en semitonos o en cents basta con tomar el logaritmo en base 2 de la razón de las frecuencias de sus notas y multiplicar el resultado respectivamente por 12 o por 1200.
A modo de ejemplo veamos cómo podemos expresar en semitonos temperados el intervalo de quinta natural definido por la razón 3/2. Basta simplemente calcular el logaritmo en base 2 del número 3/2 y multiplicarlo luego por 12. El resultado redondeado a centésimas de semitono es 7,02.
$$\log_{2}\frac{3}{2}\times12=7,02$$
Comprobamos que el intervalo de quinta natural, definido por la razón 3/2, es 2 centésimas de semitono mayor que el de quinta temperada, que por definición consta de 7 semitonos temperados.
Así mismo, si queremos expresar en semitonos el intervalo de cuarta natural, la razón 4/3, calcularemos el logaritmo en base 2 del número 4/3 y lo multiplicaremos por 12. El resultado será 4,98 semitonos.
$$\log_{2}\frac{4}{3}\times12=4,98$$
Este resultado nos indica que el intervalo de cuarta natural es 2 cents menor que el de cuarta temperada, que por definición consta de 5 semitonos.
Una vez realizadas estas comparaciones, nos daremos cuenta de que el sistema temperado se caracteriza porque acorta muy ligeramente las quintas y alarga las cuartas, exactamente 2 cents en ambos casos.

Las frecuencias de las notas musicales

Para determinar las frecuencias de las notas musicales de la escala, además de conocer los intervalos que las separan, es necesario también elegir la frecuencia de una nota que sirva de punto de partida para calcular todas las demás. La elección de la frecuencia de esta nota determina la altura absoluta de toda la escala.
Aunque el intervalo es el elemento más relevante para el lenguaje musical, lo cierto es que la altura absoluta también tiene un importante valor en sí misma. Es evidente que el efecto musical que produce una melodía es muy distinto cuando se interpreta en un registro grave que cuando se hace en un registro agudo. Así mismo, también resultan claras las diferencias entre una pieza interpretada, pongamos por caso, en la tonalidad de do mayor o la misma pieza transportada a la tonalidad de mi mayor. Y hay todavía otras diferencias más sutiles: por ejemplo, una pieza de Händel ejecutada en la afinación que se considera propia de su música, con el la4 en torno a 422 Hz, no suena igual que esa misma pieza interpretada en la afinación estándar actual, con el la4 a 440 Hz.
Veamos cómo se determinan las frecuencias de las notas de nuestra escala temperada. Supongamos que elegimos como nota de referencia el la4 a 440 Hz y queremos hallar la frecuencia a la que debe estar afinada la nota do6. La cantidad de semitonos temperados que separan ambas notas es 15 (12 semitonos de la octava la4 a la5, más 3 de la5 a do6). El número que define el intervalo de 15 semitonos será el resultado de multiplicar 15 veces por sí misma la razón del semitono, que como hemos visto es $\sqrt[12]{2}$:
$$\sqrt[12]{2^{15}}=2,378414230005442$$
El número 2,378414230005442 es, así pues, la razón que define el intervalo de 15 semitonos. Nos bastará ahora con multiplicar este número por la frecuencia de la nota que hemos tomado como referencia inicial, en este caso 440 Hz, para obtener la frecuencia de la nota do6 en la escala temperada estándar. Su valor será 1046,5 Hz.
$$440\times\sqrt[12]{2^{15}}=1046,5$$
A continuación presento una tabla con las frecuencias de las notas musicales en la escala temperada estándar. Los números de la fila superior indican la octava a la que corresponde cada nota. Aunque no hay unanimidad en la asignación de los números de octava, he seguido el criterio que me parece más acertado, el que hace corresponder el do central del piano con el inicio de la octava número 4.
Sobre fondo amarillo está destacada la frecuencia de la nota utilizada como referencia, el la4. Las notas cuyo fondo está en color naranja coinciden con la extensión completa de un piano moderno, que va del la0 al do8. Las notas sobre fondo lila son completamente excepcionales en la práctica musical: resulta muy difícil reconocer la altura tonal de las más agudas, mientras que las más graves –algunas de las cuales se pueden encontrar en algún tubo de órgano– casi no se perciben como sonido, sino más bien como un zumbido sordo.


Tabla 1. Frecuencia de las notas musicales (Hz) en las diferentes octavas.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

do

16,4

32,7

65,4

130,8

261,6

523,3

1.046,5

2.093,0

4.186,0

do#

17,3

34,6

69,3

138,6

277,2

554,4

1.108,7

2.217,5

4.434,9

re

18,4

36,7

73,4

146,8

293,7

587,3

1.174,7

2.349,3

4.698,6

mib

19,4

38,9

77,8

155,6

311,1

622,3

1.244,5

2.489,0

4.978,0

mi

20,6

41,2

82,4

164,8

329,6

659,3

1.318,5

2.637,0

5.274,0

fa

21,8

43,7

87,3

174,6

349,2

698,5

1.396,9

2.793,8

5.587,7

fa#

23,1

46,2

92,5

185,0

370,0

740,0

1.480,0

2.960,0

5.919,9

sol

24,5

49,0

98,0

196,0

392,0

784,0

1.568,0

3.136,0

6.271,9

lab

26,0

51,9

103,8

207,7

415,3

830,6

1.661,2

3.322,4

6.644,9

la

27,5

55.0

110,0

220,0

440,0

880,0

1.760,0

3.520,0

7.040,0

sib

29,1

58,3

116,5

233,1

466,2

932,3

1.864,7

3.729,3

7.458,6

si

30,9

61,7

123,5

246,9

493,9

987,8

1.975,5

3.951,1

7.902,1


Amplitud y volumen sonoro

El mayor o menor volumen sonoro, que es una sensación subjetiva, está en relación directa con la intensidad de las ondas sonoras que llegan a nuestros oídos. La intensidad es una magnitud física que mide la potencia sonora que transmite la onda por unidad de superficie y se expresa en vatios por metro cuadrado (W/m2). Es decir, la intensidad sonora es la cantidad de energía que, como consecuencia del movimiento vibratorio que transmiten las ondas, fluye en un instante dado a través de un área del espacio, como puede ser el tímpano de nuestro oído.
Puesto que la intensidad de las ondas sonoras cuando se propagan por el aire es independiente de la frecuencia y, en el caso de un sonido simple, es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud con la que la presión oscila, el volumen sonoro que percibimos al escuchar un sonido simple viene determinado por el cuadrado de su amplitud.
Igual que ocurre con la altura tonal, también ahora está presente la Ley de Weber-Fechner, de modo que el cambio en el volumen sonoro que percibimos guarda una relación logarítmica con la variación de la intensidad o, lo que viene a ser lo mismo, con la variación del cuadrado de la amplitud, a la que la intensidad es directamente proporcional. Por ello, lo que nuestro sistema perceptivo interpreta como un grado en la variación del volumen sonoro es el cociente entre las intensidades de los sonidos, no su diferencia aritmética.

Unidades interválicas de intensidad sonora: el belio y el decibelio

El rango de intensidades que podemos oír es mucho más amplio que el de frecuencias. Mientras el sonido más agudo que oímos tiene una frecuencia de unas mil veces la del sonido más grave (recordemos que el rango frecuencial de nuestra audición va aproximadamente de 20 Hz a 20.000 Hz), el sonido más fuerte que podemos escuchar es por lo menos un billón de veces más intenso que el más débil. En efecto, el rango de intensidades de la audición humana va desde un picovatio por metro cuadrado (1 pW/m2=0,000000000001 W/m2), donde se sitúa el umbral de audición, hasta un vatio por metro cuadrado (1 W/m2), donde la sensación auditiva se transforma en dolorosa.
Además, para medir la percepción de la intensidad sonora no existe una unidad objetiva que cumpla una función similar al intervalo de octava en el caso de la percepción de las alturas tonales en la música. Pero, puesto que se ha comprobado de una manera estadística que un incremento en la intensidad del sonido de 10 veces es percibido por nuestra sensación auditiva como si se hubiera doblado el sonido, se ha establecido como unidad convencional la razón 10:1.
Por eso, para poder comparar las diferentes intensidades de los sonidos de una manera acorde con la forma en la que percibimos el volumen sonoro se utiliza la relación 10:1. Esta unidad recibe el nombre de bel o belio (B) en honor del científico Alexander Graham Bell. El belio, que sirve también como unidad logarítmica para otras magnitudes relativas, es el logaritmo en base 10 de la razón entre las magnitudes que se quieren comparar. En lo que concierne al sonido, podríamos decir que el belio es una medida interválica de las intensidades sonoras y cumple una función similar a la que realiza la octava en la percepción de la frecuencia.
Pero como en la mayor parte de las ocasiones el belio resulta en la práctica una unidad demasiado grande, para medir la intensidad sonora habitualmente se utiliza el decibelio (dB), que es la décima parte del belio. Así pues, para saber cuántos decibelios de diferencia hay entre dos sonidos, se toma el logaritmo en base 10 de la razón entre sus respectivas intensidades —o de la razón entre los cuadrados de sus amplitudes— y se multiplica el resultado por 10.
Veamos con ayuda de un ejemplo cómo se puede expresar en decibelios la diferencia de volumen sonoro entre dos sonidos cuyas amplitudes son una el doble de la otra. Dado que la intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud, las diferencias entre sus intensidades estarán en razón cuádruple: ${\left(\frac{2}{1}\right)}^{2}=\frac{4}{1}$. Calculamos el logaritmo en base 10 de 4 y multiplicamos el resultado por 10. Redondeando, obtenemos el número 6,02. Así pues, el intervalo de intensidades, la diferencia de volumen sonoro que percibimos entre dos sonidos cuya amplitud es una el doble que la otra, es aproximadamente de 6 dB.
Podemos aprovechar las propiedades de los logaritmos para simplificar el cálculo (el logaritmo de un número elevado al cuadrado es igual al logaritmo de ese número multiplicado por 2), por lo que es suficiente multiplicar por 20 el logaritmo en base 10 de la razón 2/1 que hay entre las amplitudes:
$$10\times\log_{10}\left(\frac{2}{1}\right)^2=20\times\log_{10}\left(\frac{2}{1}\right)=6,02$$
Resumiendo, para expresar en decibelios las diferencias de volumen sonoro entre dos sonidos simples basta tomar el logaritmo en base 10 del cociente entre sus amplitudes y multiplicarlo por 20.

Correspondencia entre la amplitud normalizada y la intensidad en decibelios

Los editores de sonido ofrecen la posibilidad de acompañar las gráficas que representan la evolución temporal de la amplitud de la presión sonora —cuyos valores están generalmente normalizados entre 1 y -1— con una escala logarítmica en decibelios que indica la intensidad a la que corresponden. Esto nos permite comparar entre sí las amplitudes de varios sonidos de una manera más próxima a la sensación de volumen que percibimos.
Para obtener los valores de intensidad relativa en una escala expresada en decibelios, se aplica la fórmula anterior, es decir, se calcula el logaritmo en base 10 del valor de cada amplitud y se multiplica por 20. Así, el valor de amplitud 1 equivale a 0 dB de intensidad (el logaritmo en base 10 de 1 es 0); el valor 0,5 de amplitud corresponde a -6,02 dB de intensidad relativa; y así sucesivamente. Los valores negativos se deben a que el logaritmo de los números inferiores a la unidad es negativo, de modo que 0 dB se corresponde con la amplitud máxima.
A continuación presento una tabla de correspondencias entre los valores de amplitud normalizados y su intensidad expresada en decibelios. En la columna de la izquierda se muestran una serie de valores de amplitud normalizada que cubren el rango que un sistema de 16 bits es capaz de digitalizar. Los valores van decreciendo de modo que cada uno de ellos es la mitad del anterior, hasta llegar al valor mínimo que es posible representar con 16 bits. En la columna de la derecha se expresa en decibelios los correspondientes valores de intensidad. Podemos observar que las intensidades van decreciendo de manera lineal, disminuyendo 6,02 dB cada vez que la amplitud se reduce a la mitad.

Tabla 2. Equivalencias entre amplitudes y decibelios de intensidad.

Amplitud normalizada

Intensidad normalizada (dB)

1,000000

0,00

0,500000

-6,02

0,250000

-12,04

0,125000

-18,06

0,062500

-24,08

0,031250

-30,10

0,015625

-36,12

0,007813

-42,14

0,003906

-48,16

0,001953

-54,19

0,000977

-60,21

0,000488

-66,23

0,000244

-72,25

0,000122

-78,27

0,000061

-84,29

0,000031

-90,31

0,000015

-96,33


Valores absolutos de intensidad sonora

Por razones prácticas, hay algunas ocasiones en las que es conveniente referirse a la intensidad del sonido en términos absolutos, como por ejemplo para determinar si el nivel sonoro de un lugar está dentro de la normativa legal. En estos casos es útil establecer una escala logarítmica de intensidades absolutas adecuada a la manera en la que nosotros percibimos el volumen sonoro.
Dado que el belio o el decibelio son unidades que miden intervalos entre intensidades, para expresar con ellas valores absolutos es necesario tomar una intensidad de referencia con la que comparar las que queremos medir. Como sonido de referencia al que se asigna el valor 0 dB, se ha elegido lo que se considera el umbral mínimo de la audición humana: un sonido simple de 1 pW de intensidad, a una frecuencia de 1000 Hz.
Para hacernos una idea de las intensidades que corresponden al volumen que percibimos en distintos ambientes sonoros, pongo debajo una escala de intensidades absolutas y su correspondiente valor en dB, acompañada de unos ejemplos orientativos. En la columna de la izquierda se muestra la intensidad en W/m2 y en la del medio la intensidad en dB, a partir del valor de referencia inicial de 0 dB para 1 pW/m2. El valor de cada intensidad es 10 veces mayor que el de la fila anterior, por lo que el incremento en dB es de 10. Como la intensidad depende de la proximidad o lejanía de la fuente sonora, se indica la distancia o el lugar en el que se debería hacer la medición. Hay que insistir en el carácter meramente orientativo de cada ejemplo, dada la gran variedad de intensidades que pueden darse en cada situación sonora.


Tabla 3. Niveles de volumen sonoro de diferentes sonidos.

Intensidad (W/m2)

Intensidad (dB)

Ejemplos sonoros orientativos

0,000000000001

0

- Umbral de audición para un sonido simple de 1000 Hz.

- Suave aleteo de una mariposa a 1 m.

0,000000000010

10

- Zumbido de un mosquito a 1 m.

- Suave murmullo de hojas de árbol a 10 m.

0,000000000100

20

- Respiración tranquila de una persona a 1 m.

- Ordenador silencioso a 1 m.

0,000000001000

30

- Murmullo de un arroyo en el campo a 1 m.

- Susurro a 2 m en una biblioteca silenciosa.

0,000000010000

40

- Oleaje en una playa tranquila.

- Piano vertical en un pasaje pianissimo (pp) a 3 m.

0,000000100000

50

- Ruido de lluvia moderada en una calle sin tráfico.

- Piano vertical en un pasaje piano (p) a 3 m.

0,000001000000

60

- Conversación entre dos personas a volumen medio a 1 m.

- Piano vertical en un pasaje mezzoforte (mf) a 3 m.

0,000010000000

70

- Autobús urbano de gasóleo a 10 m.

- Piano vertical en un pasaje forte (f) a 3 m.

0,000100000000

80

- Ruido de tráfico intenso a 10 m.

- Piano vertical en un pasaje fortissimo (ff) a 3 m.

0,001000000000

90

- Moto de gran cilindrada a 10 m.

- Orquesta sinfónica a pleno volumen en un auditorio.

0,010000000000

100

- Sirena de una ambulancia a 20 m.

- Tren suburbano llegando a la estación.

0,100000000000

110

- Avión de pasajeros despegando a 100 m.

- Música a gran volumen en el interior de una discoteca.

1,000000000000

120

- Martillo neumático a 0,5 m.

- Umbral de molestias serias.



La percepción del volumen sonoro

He confeccionado un vídeo que nos va a permitir experimentar cómo percibimos el mismo grado de disminución del volumen sonoro cuando la amplitud se reduce, manteniendo la misma razón. En él podemos oír seis veces el sonido simple la3 a 220 Hz con una amplitud que es cada vez la mitad de la anterior. En la parte superior del vídeo va apareciendo el valor de la amplitud normalizada de la nota que está sonando y su correspondiente intensidad en decibelios. La primera nota tiene una amplitud de 0,5 y las siguientes notas reducen su amplitud sucesivamente a la mitad, coincidiendo con los valores de la tabla.

Figura 2. Vídeo con la nota la3 a 220 Hz repetida con una amplitud que se reduce cada vez a la mitad.

Para apreciar que los valores de amplitud e intensidad son relativos, nos basta con subir o bajar el volumen del reproductor de sonido. Al hacer esto, aumenta o disminuye la presión sonora que el altavoz origina y, con ello, la intensidad que llega a nuestros oídos. Ahora bien, si escuchamos de nuevo todo el vídeo con el nuevo volumen, comprobaremos que percibimos el mismo grado de disminución del volumen sonoro al pasar de nota en nota. En efecto, el intervalo entre las intensidades sonoras, lo que nosotros percibimos como un grado en el volumen sonoro, sigue siendo el mismo: cada vez que la amplitud se reduce a la mitad nosotros percibimos el mismo descenso de volumen sonoro, el que corresponde aproximadamente a 6 dB.
Hemos podido comprobar que nuestra percepción del volumen sonoro guarda muchas similitudes con nuestra percepción de la altura tonal. Sin embargo, hay varias diferencias que conviene tener presente, debidas tanto a las peculiaridades físicas del sonido, como a las de nuestro sistema auditivo.
A diferencia de la frecuencia que, salvo situaciones excepcionales, se mantiene invariable en su transmisión a través de las ondas, la amplitud y la intensidad disminuyen progresivamente conforme el sonido se aleja de la fuente: la amplitud de forma lineal y la intensidad según el cuadrado de la distancia. Además, ambas magnitudes son muy sensibles a las múltiples incidencias que las ondas pueden encontrase en su camino.
Por otra parte, nuestra sensación no responde de igual manera a todos los sonidos de la misma intensidad, sino que el grado de volumen sonoro que percibimos depende en buena medida de la frecuencia. Para permitir comparar el volumen sonoro en función de la frecuencia se ha establecido una unidad de referencia: el fon o fonio. Hay que tener en cuenta que el fonio no es una unidad física objetiva, sino que se trata de una unidad establecida a partir de criterios psicoacústicos estadísticos. El número de fonios de un sonido simple es la sensación de volumen sonoro que experimenta un oyente medio cuando escucha un sonido de 1000 Hz de ese número de decibelios de intensidad absoluta.
Por ello la escala de fonios coincide con el valor de intensidad sonora de un sonido a 1000 Hz. Por ejemplo, cuando hablamos de un sonido que provoca una sensación de volumen sonoro de 50 fonios, estamos refiriéndonos a un sonido simple de 1000 Hz cuya intensidad sonora expresada en decibelios absolutos es de 50 dB. Si la frecuencia del sonido fuera de 200 Hz, para provocar la misma sensación de volumen sonoro —es decir, 50 fonios— sería necesario que tuviera una intensidad de 60 dB, expresada en unidades absolutas.
Podemos verlo en las gráficas que habitualmente se establecen con los valores psicoacústicos de la percepción del volumen sonoro en función de la frecuencia.

Figura 3. Gráficas de la percepción del volumen sonoro en las
diferentes frecuencias
Figura 3. Gráficas de la percepción del volumen sonoro en las diferentes frecuencias.

La raya azul marca los 1000 Hz, la frecuencia de referencia donde el número de fonios coincide con el valor de la intensidad sonora absoluta. Podemos observar que en torno a los 4000 Hz es donde, con la misma intensidad sonora, la percepción del volumen es mayor, tal vez debido a la resonancia de nuestra canal auditivo. Por otra parte, las zonas extremas, tanto graves como agudas, requieren una intensidad mucho mayor para que el oyente experimente el mismo número de fonios, es decir, la misma sensación de volumen sonoro.

Conclusión

A lo largo de este capítulo hemos podido comprobar que nuestra percepción musical de los parámetros físicos del sonido es logarítmica. Percibimos razones interválicas, no diferencias aritméticas. Mientras la altura tonal es el correlato perceptivo de la frecuencia, el volumen sonoro está en relación directa con el cuadrado de la amplitud. En ambos casos, nuestra sensación se incrementa de grado en grado cuando se mantiene la misma razón en la variación de los parámetros físicos. El intervalo melódico entre dos notas musicales queda determinado por la razón entre sus frecuencias y puede ser expresado utilizando como unidad la octava —la razón 2/1— o cualquiera de sus subdivisiones, como el semitono o el cent. Así mismo, también podemos definir el “intervalo” de volumen sonoro entre dos sonidos como la razón entre el cuadrado de sus amplitudes y utilizar para medirlo el belio —la razón 10/1— o el decibelio. El hecho de que, a diferencia de la amplitud, la frecuencia permanezca invariable a lo largo de la transmisión ondulatoria ha posibilitado su codificación en las notas y escalas del lenguaje musical.